数学运算之不定方程问题知识框架

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　　知识框架

　　数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。

　　公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。

　　核心点拨

　　1、题型简介

　　未知数个数多于方程个数的方程(组)，叫做不定方程(组)。通常只讨论它的整数解或正整数解。

　　在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

　　2、核心知识

　　形如，，的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究：

　　a.不定方程是否有解?

　　b.不定方程有多少个解?

　　c.求不定方程的整数解或正整数解。

　　(1)二元一次不定方程

　　对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：

　　定理1：

　　二元一次不定方程，

　　A.若其中，则原方程无整数解;

　　B.若，则原方程有整数解;

　　C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。

　　如：方程2x+4y=5没有整数解;2x+3y=5有整数解。

　　定理2：

　　若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。

　　方程的所有解(即通解)为(k为整数)。

　　(2)多元一次不定方程(组)

　　多元一次不定方程(组)可转化为二元一次不定方程求解。

　　例：

　　②-①消去x得y+2z=11 ③

　　③的通解为，k为整数。

　　所以x=10-y-z=4-k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。

　　(3)其他不定方程

　　3、核心知识使用详解

　　解不定方程问题常用的解法：

　　(1)代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等;

　　(2)不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解;

　　(3)同余法：对等式两边取特殊的模(如奇偶分析)，缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解;

　　(4)构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解;

　　(5)无穷递推法。

　　(6)特殊值法：已知不定方程(组)，在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。